卡特兰数类似物的几何思想

在只能向上和向右走的格子中，从\(A\)点出发,到达\(B\)点，求经过某斜线\(y=kx+b(k \in \mathbb{Z})\)的路径数量

我们考虑一条经过此斜线的路径，取第一次与斜线相交的点的前面的路径，将这一段路径以斜线为对称线对称过去，现在一整个路径就变成了从\(A\)的对称点\(C\)到\(B\)点的路径（而且每一个路径都可对应出一条出来）。

那么反向考虑\(C\)点到\(B\)点的路径是否也可都对应一条\(A\)点到\(B\)点经过此斜线的路径，由于\(C\)到\(B\)必定经过斜线，所以我们肯定能取斜线相交的点，依旧把前面部分对称过去，得到\(A\)到\(B\)的一条经过此斜线的路径。

所以，\(A\)点到\(B\)点经过此斜线的路径与\(C\)点到\(B\)点的路径一一对应，二者的路径数量相等。

等价于求\(A\)关于此斜线对称点\(C\)到\(B\)的路径数量，用简单的组合数求解即可。